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简单枚举

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分类 C++ 难度基础阅读 5 分钟 浏览 15 更新 2026-7-18 16:15:26 🌐 所有人可见

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# C++ 简单枚举入门课堂笔记

## 一、什么是枚举

枚举，也叫**穷举**，就是把所有可能的情况按照一定顺序一个一个尝试，再从中找出符合条件的答案。

例如，要找出 `1` 到 `20` 中所有能被 `3` 整除的数，可以依次检查：

```text
1、2、3、4、5、6……20
```

每检查一个数，就判断它是否满足：

```cpp
i % 3 == 0
```

满足条件就输出或统计。

枚举的核心可以概括为两步：

1. 确定要尝试的范围。
2. 判断当前情况是否满足题目条件。

---

## 二、什么时候可以使用枚举

出现下面这些题目特征时，可以优先想到枚举：

- 题目要求在一个范围内找数。
- 题目要求统计符合条件的数量。
- 题目要求找最大值、最小值或第一个符合条件的答案。
- 题目的数据范围比较小。
- 所有可能情况的数量不多。
- 暂时想不到更快的方法，但逐个尝试能够完成。

常见提示词：

- 找出所有……
- 有多少个……
- 从小到大输出……
- 最小的……
- 所有可能的组合……
- 是否存在……

---

## 三、最基本的枚举结构

### 1. 枚举一个连续范围

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cout << i << " ";
}
```

这里的 `i` 会依次取：

```text
1, 2, 3, ..., n
```

### 2. 枚举并判断

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (i % 2 == 0) {
        cout << i << " ";
    }
}
```

程序会检查 `1` 到 `n` 中的每一个整数，只输出偶数。

### 3. 枚举并计数

```cpp
int cnt = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (i % 3 == 0) {
        cnt++;
    }
}

cout << cnt;
```

`cnt` 用来记录满足条件的数有多少个。

### 4. 枚举并求和

```cpp
int sum = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (i % 3 == 0) {
        sum += i;
    }
}

cout << sum;
```

`sum` 用来累加所有符合条件的数。

---

## 四、枚举题的基本分析步骤

拿到一道枚举题，可以按照下面的顺序分析。

### 第一步：枚举谁

先确定循环变量表示什么。

例如：

- 枚举 `1` 到 `n` 中的整数：`i` 表示当前整数。
- 枚举鸡的数量：`i` 表示鸡有多少只。
- 枚举三位数：`i` 表示当前三位数。
- 枚举两个数：`i`、`j` 分别表示两个数。

### 第二步：枚举范围是什么

范围一定要根据题目确定。

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++)
```

表示枚举 `1` 到 `n`。

```cpp
for (int i = l; i <= r; i++)
```

表示枚举区间 `[l,r]`。

```cpp
for (int i = 100; i <= 999; i++)
```

表示枚举所有三位数。

### 第三步：满足什么条件

把题目条件写成 `if` 判断。

例如，同时满足“能被 `3` 整除”和“不能被 `5` 整除”：

```cpp
if (i % 3 == 0 && i % 5 != 0) {
    cout << i << " ";
}
```

### 第四步：找到后做什么

常见操作有：

```cpp
cout << i;   // 输出
cnt++;       // 计数
sum += i;    // 求和
ans = i;     // 保存答案
break;       // 找到第一个答案后结束
```

---

## 五、单变量枚举

单变量枚举只需要一层循环。

### 例题：输出区间内所有能被 4 整除的数

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int l, r;
    cin >> l >> r;

for (int i = l; i <= r; i++) {
        if (i % 4 == 0) {
            cout << i << " ";
        }
    }

return 0;
}
```

这里：

- `i` 是当前检查的整数。
- 范围是 `l` 到 `r`。
- 条件是 `i % 4 == 0`。
- 满足条件就输出。

---

## 六、多个条件的枚举

一个数可能需要同时满足多个条件。

### 1. 同时满足两个条件

```cpp
if (i % 2 == 0 && i % 3 == 0) {
    cout << i << " ";
}
```

表示 `i` 既能被 `2` 整除，又能被 `3` 整除。

### 2. 满足其中一个条件

```cpp
if (i % 2 == 0 || i % 3 == 0) {
    cout << i << " ";
}
```

表示 `i` 能被 `2` 或 `3` 整除。

### 3. 满足一个条件但不满足另一个条件

```cpp
if (i % 3 == 0 && i % 5 != 0) {
    cout << i << " ";
}
```

---

## 七、数位枚举

枚举一个整数时，经常需要取出它的每一位数字。

对于三位数 `n`：

```cpp
int a = n / 100;        // 百位
int b = n / 10 % 10;    // 十位
int c = n % 10;         // 个位
```

### 例题：统计各位数字之和等于 10 的三位数

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int cnt = 0;

for (int i = 100; i <= 999; i++) {
        int a = i / 100;
        int b = i / 10 % 10;
        int c = i % 10;

if (a + b + c == 10) {
            cnt++;
        }
    }

cout << cnt;
    return 0;
}
```

---

## 八、枚举两个量

当题目中有两个未知量时，可以使用两层循环。

```cpp
for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
        if (满足条件) {
            cout << i << " " << j << endl;
        }
    }
}
```

执行顺序可以理解为：

```text
i = 0 时，j 从 0 枚举到 n
i = 1 时，j 从 0 枚举到 n
i = 2 时，j 从 0 枚举到 n
……
```

### 例题：找出所有和为 n 的非负整数对

```cpp
for (int a = 0; a <= n; a++) {
    for (int b = 0; b <= n; b++) {
        if (a + b == n) {
            cout << a << " " << b << endl;
        }
    }
}
```

实际上，因为 `b = n - a`，也可以只枚举 `a`：

```cpp
for (int a = 0; a <= n; a++) {
    int b = n - a;
    cout << a << " " << b << endl;
}
```

能少枚举一层时，应尽量少枚举一层。

---

## 九、用枚举解决鸡兔同笼

假设有 `h` 个头、`l` 条腿。

设鸡有 `i` 只，那么兔有：

```cpp
h - i
```

腿的总数为：

```cpp
i * 2 + (h - i) * 4
```

因此可以枚举鸡的数量：

```cpp
for (int i = 0; i <= h; i++) {
    int j = h - i;

if (i * 2 + j * 4 == l) {
        cout << i << " " << j;
    }
}
```

这里没有必要同时枚举鸡和兔，因为兔的数量可以由总头数计算出来。

---

## 十、查找第一个符合条件的答案

有些题目只要求最小的答案。

因为循环从小到大枚举，所以第一次找到的就是最小答案。

```cpp
int ans = -1;

for (int i = 1; i <= 100000; i++) {
    if (满足条件) {
        ans = i;
        break;
    }
}

cout << ans;
```

`break` 的作用是立即结束当前循环。

若循环结束后 `ans` 仍然是 `-1`，说明没有找到答案。

---

## 十一、如何判断枚举会不会超时

枚举的速度主要取决于循环执行次数。

### 一层循环

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++)
```

大约执行 `n` 次，时间复杂度是：

```text
O(n)
```

### 两层循环

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
    }
}
```

大约执行 `n × n` 次，时间复杂度是：

```text
O(n²)
```

常见估算：

| 循环次数 | 一般情况 |
| --- | --- |
| 1 万次 | 很轻松 |
| 100 万次 | 通常很轻松 |
| 1000 万次 | 通常可以接受 |
| 1 亿次 | 可能较慢 |
| 10 亿次 | 通常会超时 |

这是大致估算，实际还和每次循环做了多少操作有关。

---

## 十二、减少枚举次数的方法

### 1. 缩小范围

已知枚举的是三位数，就写：

```cpp
for (int i = 100; i <= 999; i++)
```

不要从 `1` 枚举到很大的数。

### 2. 利用已知关系

已知：

```text
a + b = n
```

枚举 `a` 后，可以直接计算：

```cpp
b = n - a;
```

不需要再枚举 `b`。

### 3. 找到答案后及时结束

只需要最小答案时：

```cpp
if (满足条件) {
    cout << i;
    break;
}
```

### 4. 提前排除不可能情况

例如鸡兔同笼中：

- 腿数必须是偶数。
- 腿数不能少于 `2 × 头数`。
- 腿数不能多于 `4 × 头数`。

这些判断可以减少无意义的枚举。

---

## 十三、常见错误

### 错误 1：范围少枚举一个数

错误写法：

```cpp
for (int i = 1; i < n; i++)
```

这只枚举到 `n - 1`。

需要包含 `n` 时，应写：

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++)
```

### 错误 2：条件写反

题目要求“不能被 5 整除”：

```cpp
i % 5 != 0
```

不是：

```cpp
i % 5 == 0
```

### 错误 3：计数器没有初始化

错误：

```cpp
int cnt;
cnt++;
```

正确：

```cpp
int cnt = 0;
```

### 错误 4：找到答案后忘记记录

```cpp
if (满足条件) {
    cout << i;
}
```

若题目要求判断是否存在，还需要使用变量记录：

```cpp
bool flag = false;
```

### 错误 5：两层循环变量写错

错误：

```cpp
for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; i <= n; j++) {
    }
}
```

第二层循环条件应使用 `j`：

```cpp
for (int j = 0; j <= n; j++)
```

### 错误 6：重复输出对称答案

若 `(a,b)` 和 `(b,a)` 被认为是同一种情况，可以限制：

```cpp
a <= b
```

---

## 十四、常用枚举模板

### 模板 1：输出所有答案

```cpp
for (int i = l; i <= r; i++) {
    if (满足条件) {
        cout << i << endl;
    }
}
```

### 模板 2：统计答案数量

```cpp
int cnt = 0;

for (int i = l; i <= r; i++) {
    if (满足条件) {
        cnt++;
    }
}

cout << cnt;
```

### 模板 3：求符合条件的数之和

```cpp
long long sum = 0;

for (int i = l; i <= r; i++) {
    if (满足条件) {
        sum += i;
    }
}

cout << sum;
```

### 模板 4：寻找最小答案

```cpp
int ans = -1;

for (int i = l; i <= r; i++) {
    if (满足条件) {
        ans = i;
        break;
    }
}

cout << ans;
```

### 模板 5：枚举两个量

```cpp
for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
        if (满足条件) {
            cout << i << " " << j << endl;
        }
    }
}
```

---

## 十五、本节课重点

1. 枚举就是按照顺序逐个尝试所有可能情况。
2. 写枚举前，要先确定枚举对象、枚举范围和判断条件。
3. 单变量问题通常使用一层 `for` 循环。
4. 两个独立变量的问题可能需要两层循环。
5. 计数变量和求和变量必须先初始化。
6. 只找最小答案时，可以从小到大枚举并使用 `break`。
7. 能通过公式计算出的变量，不要再单独枚举。
8. 枚举前要估算循环次数，避免范围过大。

---

## 十六、课后练习顺序

建议按照下面的顺序完成配套题目：

1. 输出 1 到 N
2. 输出区间内的偶数
3. 统计能被 K 整除的数
4. 同时满足多个条件
5. 三位数的数字和
6. 和为 N 的正整数对
7. 鸡兔同笼
8. 1、2、5 元硬币组合
9. 三位密码
10. 最小特殊数

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