P5657 [CSP-S 2019] 格雷码

题目背景

本题围绕“[CSP-S 2019] 格雷码”所描述的场景展开。普通字典序下，所有 $n$ 位二进制串按数值从小到大排列。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

普通字典序下，所有 $n$ 位二进制串按数值从小到大排列。格雷码则是一种特殊排列：任意相邻两个串恰好有一位不同，并且第一个串和最后一个串也视为相邻。

本题规定使用下面的递归方式生成格雷码：

1. $1$ 位格雷码依次为 0、1；
2. 已知 $n$ 位格雷码后，构造 $n+1$ 位格雷码：
   • 前 $2^n$ 个串：把原 $n$ 位格雷码按原顺序排列，并在每个串前加 0；
   • 后 $2^n$ 个串：把原 $n$ 位格雷码按逆序排列，并在每个串前加 1。

例如：

• $2$ 位格雷码：00 01 11 10；
• $3$ 位格雷码：000 001 011 010 110 111 101 100。

按照上述顺序，把 $n$ 位格雷码的 $2^n$ 个串编号为 $0\sim2^n-1$。

给定 $n$ 和编号 $k$，请输出第 $k$ 个 $n$ 位格雷码串。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 普通字典序下，所有 $n$ 位二进制串按数值从小到大排列。
• 格雷码则是一种特殊排列：。
• 任意相邻两个串恰好有一位不同，并且第一个串和最后一个串也视为相邻。
• 本题规定使用下面的递归方式生成格雷码：。
• 1. $1$ 位格雷码依次为 0、1；。
• 2. 已知 $n$ 位格雷码后，构造 $n+1$ 位格雷码：。
• 前 $2^n$ 个串：。
• 把原 $n$ 位格雷码按原顺序排列，并在每个串前加 0；。
• 编号从 $0$ 开始。
• 输出必须恰好包含 $n$ 位，不足的高位必须保留为 0。
• 格雷码顺序严格使用题面给出的反射递归定义。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

一行输入两个整数 $n,k$。

输出格式

输出一行一个长度恰好为 $n$ 的二进制串，表示编号为 $k$ 的格雷码。

样例 1

2 3

10

样例 2

3 5

111

样例说明

样例编号从 $0$ 开始，在题面规定的反射格雷码序列中定位后，输出固定长度的二进制串。

数据范围

• 对于 $50\%$ 的数据：$n\le10$；
• 对于 $80\%$ 的数据：$k\le5\times10^6$；
• 对于 $95\%$ 的数据：$k\le2^{63}-1$；
• 对于全部数据：$1\le n\le64$，$0\le k<2^n$。

当 $n=64$ 时，$k$ 可能达到无符号 $64$ 位整数的范围。

题目信息来源：洛谷 P5657。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P5657 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。