P3853 [TJOI2007] 路标设置

难度： 普及/提高−
算法标签： 二分答案、贪心
来源： 洛谷 P3853

题目背景

本题围绕“[TJOI2007] 路标设置”所描述的场景展开。一条长度为 $L$ 的公路上已有 $N$ 个路标，位置递增，且起点和终点都有路标。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

一条长度为 $L$ 的公路上已有 $N$ 个路标，位置递增，且起点和终点都有路标。最多可在整数位置新增 $K$ 个路标。公路的“空旷指数”定义为相邻路标距离的最大值。求新增路标后可达到的最小空旷指数。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 一条长度为 $L$ 的公路上已有 $N$ 个路标，位置递增，且起点和终点都有路标。
• 最多可在整数位置新增 $K$ 个路标。
• 公路的“空旷指数”定义为相邻路标距离的最大值。
• 求新增路标后可达到的最小空旷指数。
• 只能在现有路标之间增设路标。
• 最多增设规定数量，使所有相邻路标间距的最大值最小。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

第一行三个整数 $L,N,K$。第二行 $N$ 个递增整数，表示原有路标位置。

输出格式

输出最小可能的最大相邻距离。

输入输出样例

样例 1

101 2 1
0 101

51

样例说明

样例输入按照上述规则处理。一条长度为 $L$ 的公路上已有 $N$ 个路标，位置递增，且起点和终点都有路标。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$2\le N\le10^5$，$0\le K\le10^5$，$0<L\le10^7$，首尾位置为 0 和 $L$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P3853 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。