P3197 [HNOI2008] 越狱

难度： 普及/提高−
算法标签： 快速幂、容斥原理、计数
来源： 洛谷 P3197

题目背景

本题围绕“[HNOI2008] 越狱”所描述的场景展开。有 $n$ 个按顺序相邻的房间，每个房间关押一名犯人。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

有 $n$ 个按顺序相邻的房间，每个房间关押一名犯人。每名犯人可以信仰 $m$ 种宗教中的一种。如果至少有一对相邻房间中的犯人信仰相同，就认为这种状态可能发生越狱。求可能发生越狱的宗教分配状态数，答案对 $100003$ 取模。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 有 $n$ 个按顺序相邻的房间，每个房间关押一名犯人。
• 每名犯人可以信仰 $m$ 种宗教中的一种。
• 如果至少有一对相邻房间中的犯人信仰相同，就认为这种状态可能发生越狱。
• 求可能发生越狱的宗教分配状态数，答案对 $100003$ 取模。
• 每个房间的犯人独立选择一种宗教。
• 只要至少一对相邻房间信仰相同，该状态就计入答案。
• 答案必须对 $100003$ 取模。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一行两个整数 $m,n$，分别表示宗教种数和房间数。

输出格式

输出一行一个整数，表示可能发生越狱的状态数对 $100003$ 取模后的结果。

输入输出样例

样例 1

2 3

6

样例说明

当 $m=2,n=3$ 时，共有 $2^3=8$ 种分配，其中只有两种相邻房间宗教始终不同，因此可能越狱的状态数为 $8-2=6$。

数据范围

$1\le m\le10^8$，$1\le n\le10^{12}$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P3197 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。