P2181 对角线

难度： 普及−
算法标签： 组合数学、计数、高精度思想
来源： 洛谷 P2181

题目背景

本题围绕“对角线”所描述的场景展开。一个凸 $n$ 边形满足：任意三条对角线不会交于同一个内部点。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

一个凸 $n$ 边形满足：任意三条对角线不会交于同一个内部点。求所有对角线在多边形内部形成的交点数量。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 一个凸 $n$ 边形满足：。
• 任意三条对角线不会交于同一个内部点。
• 求所有对角线在多边形内部形成的交点数量。
• 多边形为凸多边形。
• 保证任意三条对角线不在内部同点相交，因此每个内部交点由唯一四个顶点确定。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一行一个整数 $n$，表示凸多边形的边数。

输出格式

输出一行一个整数，表示对角线内部交点数。

输入输出样例

样例 1

6

15

样例说明

样例输入按照上述规则处理。一个凸 $n$ 边形满足：。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$3\le n\le10^5$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P2181 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。