P1965 [NOIP 2013 提高组] 转圈游戏

难度： 普及/提高−
算法标签： 快速幂、模运算、数学
来源： 洛谷 P1965

题目背景

本题围绕“[NOIP 2013 提高组] 转圈游戏”所描述的场景展开。有 $n$ 个位置按顺时针编号为 $0,1,\ldots,n-1$，开始时编号为 $i$ 的小伙伴位于位置 $i$。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

有 $n$ 个位置按顺时针编号为 $0,1,\ldots,n-1$，开始时编号为 $i$ 的小伙伴位于位置 $i$。每一轮中，所有小伙伴都顺时针移动 $m$ 个位置，也就是原来在位置 $i$ 的人移动到位置 $(i+m)\bmod n$。游戏共进行 $10^k$ 轮。求编号为 $x$ 的小伙伴最终所在的位置。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 有 $n$ 个位置按顺时针编号为 $0,1,\ldots,n-1$，开始时编号为 $i$ 的小伙伴位于位置 $i$。
• 每一轮中，所有小伙伴都顺时针移动 $m$ 个位置，也就是原来在位置 $i$ 的人移动到位置 $(i+m)\bmod n$。
• 游戏共进行 $10^k$ 轮。
• 求编号为 $x$ 的小伙伴最终所在的位置。
• 位置编号从 $0$ 到 $n-1$。
• 每轮顺时针移动 $m$ 个位置，共移动 $10^k$ 轮。
• 最终位置按模 $n$ 计算。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一行四个整数 $n,m,k,x$。

输出格式

输出一行一个整数，表示最终位置编号。

输入输出样例

样例 1

10 4 3 2

2

样例说明

样例输入按照上述规则处理。有 $n$ 个位置按顺时针编号为 $0,1,\ldots,n-1$，开始时编号为 $i$ 的小伙伴位于位置 $i$。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$1<n<10^6$，$0<m<n$，$0\le x\le n$，$0<k<10^9$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P1965 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。