P1216 [IOI 1994 / USACO1.5] 数字三角形 Number Triangles

难度： 普及−
算法标签： 动态规划、数字三角形
来源： 洛谷 P1216

题目背景

本题围绕“[IOI 1994 / USACO1.5] 数字三角形 Number Triangles”所描述的场景展开。给出一个有 $r$ 行的数字三角形。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

给出一个有 $r$ 行的数字三角形。从顶端出发，每一步只能走到下一行的左下方或右下方相邻数字，最终到达底行。求路径上所有数字之和的最大值。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 给出一个有 $r$ 行的数字三角形。
• 从顶端出发，每一步只能走到下一行的左下方或右下方相邻数字，最终到达底行。
• 求路径上所有数字之和的最大值。
• 从顶点出发，每一步只能到下一行相邻的两个位置之一。
• 路径必须到达最后一行，求经过数字之和的最大值。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

第一行一个整数 $r$。之后第 $i$ 行输入 $i$ 个整数，表示三角形第 $i$ 行。

输出格式

输出最大路径和。

输入输出样例

样例 1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

30

样例说明

样例输入按照上述规则处理。给出一个有 $r$ 行的数字三角形。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$1\le r\le1000$，所有数字在 $[0,100]$ 内。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P1216 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。