P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

难度： 普及−
算法标签： 动态规划、卡特兰数
来源： 洛谷 P1044

题目背景

本题围绕“[NOIP 2003 普及组] 栈”所描述的场景展开。输入序列依次为 $1,2,\ldots,n$。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

输入序列依次为 $1,2,\ldots,n$。可以反复进行两种操作：把输入序列头部元素压入栈，或把栈顶元素弹出并接到输出序列末尾。栈容量足够大。求能够得到的不同输出序列数量。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 输入序列依次为 $1,2,\ldots,n$。
• 可以反复进行两种操作：。
• 把输入序列头部元素压入栈，或把栈顶元素弹出并接到输出序列末尾。
• 求能够得到的不同输出序列数量。
• 入栈顺序固定为 $1,2,\ldots,n$。
• 在任意时刻只能执行压入下一个数或弹出栈顶，求不同出栈序列数量。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一个整数 $n$。

输出格式

输出可能的输出序列总数。

输入输出样例

样例 1

3

5

样例说明

样例输入按照上述规则处理。输入序列依次为 $1,2,\ldots,n$。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$1\le n\le18$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P1044 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。