P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

难度： 普及−
算法标签： 动态规划、递推
来源： 洛谷 P1028

题目背景

本题围绕“[NOIP 2001 普及组] 数的计算”所描述的场景展开。从正整数 $n$ 开始构造数列。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

从正整数 $n$ 开始构造数列。只包含 $n$ 的数列合法；在任意合法数列末尾添加一个正整数 $x$ 仍合法，当且仅当 $x$ 不超过添加前最后一项的一半。求以 $n$ 为第一项的不同合法数列总数。数列长度不同或任意位置元素不同都视为不同数列。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 从正整数 $n$ 开始构造数列。
• 只包含 $n$ 的数列合法；。
• 在任意合法数列末尾添加一个正整数 $x$ 仍合法，当且仅当 $x$ 不超过添加前最后一项的一半。
• 求以 $n$ 为第一项的不同合法数列总数。
• 数列长度不同或任意位置元素不同都视为不同数列。
• 按题面递归规则在一个数左边添加不超过其一半的正整数。
• 需要统计能够得到的不同合法数的总数，并包含原数本身。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一行一个整数 $n$。

输出格式

输出合法数列数量。

输入输出样例

样例 1

6

6

样例说明

样例输入按照上述规则处理。从正整数 $n$ 开始构造数列。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$1\le n\le1000$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P1028 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。