P1029 [NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

难度： 普及−
算法标签： 最大公约数、最小公倍数、质因数分解
来源： 洛谷 P1029

题目背景

本题围绕“[NOIP 2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题”所描述的场景展开。给定两个正整数 $x_0,y_0$。

下面的题面采用非逐字重述方式整理，但保留原题中的全部判定条件、边界含义、输入输出要求与特殊约定。

题目描述

给定两个正整数 $x_0,y_0$。求有多少个有序正整数对 $(P,Q)$ 同时满足：

1. $\gcd(P,Q)=x_0$；
2. $\operatorname{lcm}(P,Q)=y_0$。

$(P,Q)$ 与 $(Q,P)$ 在 $P e Q$ 时视为两个不同答案。

完整规则与任务要求

处理本题时，必须同时满足下列全部要求，不能只实现其中一部分：

• 给定两个正整数 $x_0,y_0$。
• 求有多少个有序正整数对 $(P,Q)$ 同时满足：。
• 1. $\gcd(P,Q)=x_0$；。
• 2. $\operatorname{lcm}(P,Q)=y_0$。
• $(P,Q)$ 与 $(Q,P)$ 在 $P e Q$ 时视为两个不同答案。
• 必须同时满足最大公约数为 $x_0$、最小公倍数为 $y_0$。
• 统计的是有序正整数对，交换后可能构成另一个答案。

程序应完整读取“输入格式”中规定的所有数据，并严格按照“输出格式”给出结果。题目中的区间端点、编号起点、排序优先级、同分处理、空结构处理、取模方式和特殊字符串，均以本题面明确写出的规则为准。

所有算法还必须覆盖“数据范围”中的最小规模、最大规模及边界情况，不能只针对样例或小数据。

输入格式

输入一行两个正整数 $x_0,y_0$。

输出格式

输出满足条件的有序数对数量。

输入输出样例

样例 1

3 60

4

样例说明

样例输入按照上述规则处理。给定两个正整数 $x_0,y_0$。最终得到题面所列的样例输出。样例只用于说明规则与格式，程序仍需覆盖全部数据范围。

数据范围

$2\le x_0,y_0\le10^5$。

边界与子任务说明

• 测试数据可能覆盖题面允许的最小值、最大值、重复值、空结果、无解或极端结构等边界情形。
• 若原题未额外列出分档子任务，则所有测试点统一遵守上述完整数据范围；若题面已经列出比例或分档条件，则这些条件均应视为题面的一部分。
• 不能根据公开样例推断未写出的额外限制。

本题面依据洛谷 P1029 的公开题目信息重新整理，为内容完整的非逐字重述版。